Question

下面四個(gè)命題：
①奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)；
②函數(shù)y=

1-x2

|x+2|-2

是奇函數(shù)；
③奇函數(shù)f（x）在[a，b]上為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在[-b，-a]上為減函數(shù)；
④定義在R上的函數(shù)y=f（x），則函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
其中正確命題的序號(hào)是

②④

（把所有正確命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：①奇函數(shù)的定義域只是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．②利用函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判斷．③利用奇函數(shù)與單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷．④利用函數(shù)圖象之間的對(duì)稱性判斷．

解答：解：①根據(jù)奇函數(shù)的定義可知，奇函數(shù)的定義域只是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不一定過原點(diǎn)，比如函數(shù)f（x）=

1

x

，所以①錯(cuò)誤．
②由1-x²≥0．得x²≤1，即-1≤x≤1．此時(shí)y=

1-x2

|x+2|-2

=

1-x2

x+2-2

=

1-x2

x

，為奇函數(shù)，所以②正確．
③根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同可知，奇函數(shù)f（x）在[a，b]上為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在[-b，-a]上為增函數(shù)，所以③錯(cuò)誤．
④設(shè)t=x-1，則x=t+1，則y=f（x-1）=f（t），y=f（1-x）=f（-t），∵y=f（t）和y=f（-t）關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以④正確．
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)奇偶性，對(duì)稱性和單調(diào)性之間的關(guān)系．