Question

14．在正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB=AA₁=1，邊AB上有一點P，銳二面角P-A₁C₁-B₁與P-B₁C₁-A₁的大小分別為α、β，則tan（α+β）的最小值為-$\frac{8\sqrt{3}}{13}$．

Answer 1

分析 設(shè)AP=x，則PB=1-x，先利用條件以及正三棱柱的性質(zhì)，二面角的平面角的定義求出tanα和tanβ的值，再利用兩角和的正切公式求得tan（α+β）的解析式，從而求得它的最小值．

解答 解：如圖所示：作PP₁⊥A₁B₁，P₁ 為垂足； P₁M⊥A₁C₁，M為垂足，P₁N⊥B₁C₁，N為垂足，
則由題意可得α=∠PMP₁，β=∠PNP₁．
設(shè)AP=x，則PB=1-x，MP₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，NP₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-x），
故tanα=$\frac{{PP}_{1}}{{MP}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}x}{2}}$=$\frac{2}{x\sqrt{3}}$  tanβ=$\frac{{PP}_{1}}{{NP}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}（1-x）}{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}（1-x）}$，
故tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{\frac{2}{x\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}（1-x）}}{1-\frac{2}{x\sqrt{3}}•\frac{2}{\sqrt{3}（1-x）}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3x（1-x）-4}$，
故當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，3x（1-x）-4取得最大值為-$\frac{13}{4}$，tan（α+β）=$\frac{2\sqrt{3}}{3x（1-x）-4}$ 取得最小值為-$\frac{8\sqrt{3}}{13}$．

點評 本題主要考查正三棱柱的性質(zhì)，二面角的平面角的定義及求法，兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于中檔題．