Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足：①f（0）=0；②?x∈R，f（x）≥x；③f（-

1

2

+x）=f（-

1

2

-x）．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）試討論函數(shù)g（x）=f（x）-2x在區(qū)間[-2，2]內(nèi)的單調(diào)性；
（3）是否存在實數(shù)t，使得函數(shù)h（x）=f（x）-x²-x+t與函數(shù)u（x）=|log₂x|（x∈（0，2]）的圖象恒有兩個不同交點，如果存在，求出相應(yīng)t的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由①f（0）=0可得c值，由③可知函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程，從而可得a，b間的關(guān)系式，由②可得f（x）-x≥0恒成立，根據(jù)恒成立問題可得一不等式，結(jié)合a，b間的關(guān)系即可求得a，b值；
（2）g（x）=f（x）-2x=x²-x，結(jié)合其圖象特征即可求得其單調(diào)區(qū)間；
（3）數(shù)形結(jié)合：h（x）=f（x）-x²-x+t=t，結(jié)合u（x）的圖象特征即可求得t的范圍．

解答：解：（1）由條件①得f（0）=c=0，
由③f（-

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2

+x）=f（-

1

2

-x）知f（x）的對稱軸x=-

b

2a

=-

1

2

，即a=b，
由②?x∈R，f（x）≥x，即ax²+（a-1）x≥0，對?x∈R恒成立，
∴

a＞0 △=(a-1)2≤0

，
又（a-1）²≥0，∴a=b=1，
∴f（x）=x²+x．
（2）g（x）=f（x）-2x=x²-x，其圖象為開口向上的拋物線且對稱軸為x=

1

2

，
所以g（x）在區(qū)間[-2，

1

2

]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[

1

2

，2]上單調(diào)遞增；．    
（3）存在實數(shù)t，使兩函數(shù)圖象恒有兩個交點，理由如下：
h（x）=f（x）-x²-x+t=t，
又函數(shù)u（x）=|log₂x|（x∈（0，2]）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，又u（1）=0，u（2）=1，
∴h（x）與u（x）恒有兩個不同交點得實數(shù)t的取值范圍是（0，1]．

點評：本題主要考查了函數(shù)的解析式的求解，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，零點存在的判定定理，考查了分類討論思想的在解題中的應(yīng)用．屬于綜合性較強(qiáng)的試題．