Question

已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點A的坐標是（0，-1），且右焦點Q到直線x-y+2

2

=0的距離為3．
（1）求橢圓方程；
（2）試問是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，使l與橢圓M有兩個不同的交點B、C，且|AB|=|AC|？若存在，求出k的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出b=1，

|c+2 2 |

2

=3，由此能求出橢圓M的方程．
（2）設(shè)l：y=kx+m（k≠0），代入橢圓M的方程得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0，由△＞0得3k²＞m²-1，設(shè)B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），利用韋達定理和直線方程求出P（-

3km

1+3k2

，

m

1+3k2

），由|AB|=|AC|，推導(dǎo)出m=

1

2

（1+3k²），由此能求出存在滿足條件的直線l，其斜率k∈（-1，0）∪（0，1）．

解答： 解：（1）∵橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個頂點A的坐標是（0，-1），
∴b=1，
∵右焦點Q到直線x-y+2

2

=0的距離為3．
設(shè)Q（c，0）（c＞0），∴

|c+2 2 |

2

=3，解得c=

2

，
∴a²=b²+c²=3，
∴橢圓M的方程：

x2

3

+y²=1．
（2）設(shè)l：y=kx+m（k≠0），
代入橢圓M的方程得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0，
由△＞0得：（6km）²-12（1+3k²）（m²-1）＞0，
∴3k²＞m²-1…①
設(shè)B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），
則BC中點P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），且

x1+x2

2

=-

3km

1+3k2

，
∴

y1+y2

2

=k×

x1+x2

2

+m=

m

1+3k2

，
∴P（-

3km

1+3k2

，

m

1+3k2

），
∵|AB|=|AC|，∴AP⊥BC，即k_AP•k_BC=-1，
∴

m 1+3k2 +1

-3mk 1+3k2 -0

=-

1

k

，∴m=

1

2

（1+3k²）…②，
由①②得：（1+3k²）（1-k²）＞0，∴-1＜k＜1且k≠0，
∴存在滿足條件的直線l，其斜率k∈（-1，0）∪（0，1）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在并求直線的斜率的取值范圍，綜合性強，難度較大，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想的合理運用．