Question

（2013•海淀區(qū)二模）已知函數f(x)=1-

cos2x

2 sin(x- π 4 )

．
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由分母不為0，得到sin（x-

π

4

）≠0，利用正弦函數的性質即可求出函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）函數解析式第二項分子利用二倍角的余弦函數公式化簡，第二項利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，約分后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的單調性即可求出函數的單調遞增區(qū)間．

解答：解：（I）∵sin（x-

π

4

）≠0，
∴x-

π

4

≠kπ，k∈Z，
則函數的定義域為{x|x≠kπ+

π

4

，k∈Z}；
（II）∵f（x）=1-

cos2x-sin2x

sinx-cosx

=1+（cosx+sinx）=1+sinx+cosx=1+

2

sin（x+

π

4

），
又∵y=sinx的單調遞增區(qū)間為（2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

），k∈Z，
令2kπ-

π

2

＜x+

π

4

＜2kπ+

π

2

，
解得：2kπ-

3π

4

＜x＜2kπ+

π

4

，
又注意到x≠kπ+

π

4

，
則f（x）的單調遞增區(qū)間為（2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

），k∈Z．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，正弦函數的定義域和值域，以及正弦函數的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．