Question

設(shè)A={a₁，a₂，a₃}是由三個不同元素組成的集合，且T是A的子集組成的集合，滿足性質(zhì)：空集和A屬于T，并且T中任何兩個元素的交集和并集還屬于T，則所有可能的T的個數(shù)為（　　）

• A、29
• B、33
• C、43
• D、59

Answer 1

考點：子集與真子集,集合中元素個數(shù)的最值

專題：集合

分析：根據(jù)已知中A={a₁，a₂，a₃}是由三個不同元素組成的集合，且T是A的子集組成的集合，滿足性質(zhì)：空集和A屬于T，并且T中任何兩個元素的交集和并集還屬于T，列舉出所有滿足條件的情況，可得答案．

解答： 解：∵A={a₁，a₂，a₃}，故A的子集有8個，除空集和A外，有三個單元集，三個兩元集；
由空集和A屬于T，可知T中最少有兩個元素，
又∵T中任何兩個元素的交集和并集還屬于T，故：
（1）T中有兩個元素時，T={∅，{a₁，a₂，a₃}}滿足要求；
（2）T中有三個元素時，均滿足要求，共有

C

1 6

=6種情況，
（3）①T中有四個元素時，其中除空集和A外的其它兩個元素為單元集，
　　　　如T={∅，{a₁}，{a₂}，{a₁，a₂，a₃}}時，{a₁}∪{a₂}∉T，不滿足要求，
　　�、赥中有四個元素時，其中除空集和A外的其它兩個元素為兩元集，
　　　　如T={∅，{a₁，a₃}，{a₂，a₃}，{a₁，a₂，a₃}}時{a₁，a₃}∩{a₂，a₃}={a₃}∉T，不滿足要求，
　　　③T中有四個元素時，其中除空集和A外的其它兩個元素分別為單元集和兩元集時，滿足要求，共有

C

1 3

•

C

1 3

=9種情況，
（4）①T中有五個元素時，其中除空集和A外的其它三個元素為單元集，不滿足要求，
　　　②T中有五個元素時，其中除空集和A外的其它三個元素為兩元集，不滿足要求，
　　　③T中有五個元素時，其中除空集和A外的其它三個元素有兩個單元集和它們的并集，滿足要求，共有

C

2 3

=3種情況，
　　�、躎中有五個元素時，其中除空集和A外的其它三個元素有兩個兩元集和它們的交集，滿足要求，共有

C

2 3

=3種情況，
（5）T中有六個元素時，其中除空集和A外的其它三個元素有兩個單元集和它們的并集和另外一個二元集，滿足要求，共有

C

2 3

C

1 2

=6種情況，
（6）T中有七個元素時，均不滿足要求；
（7）T中有八個元素時，滿足要求；
綜上滿足條件的T有：1+6+9+3+3+6+1=29種情況，
故選：A

點評：本題考查的知識點是子集與真子集，集合中元素個數(shù)問題，分類討論和列舉是解答此類問題的方法，分類時要注意不重不漏．