Question

設(shè)A={a₁，a₂，a₃}是由三個(gè)不同元素組成的集合，且T是A的子集組成的集合，滿足性質(zhì)：空集和A屬于T，并且T中任何兩個(gè)元素的交集和并集還屬于T，則所有可能的T的個(gè)數(shù)為（　　）

• A、29
• B、33
• C、43
• D、59

Answer 1

考點(diǎn)：子集與真子集,集合中元素個(gè)數(shù)的最值

專(zhuān)題：集合

分析：根據(jù)已知中A={a₁，a₂，a₃}是由三個(gè)不同元素組成的集合，且T是A的子集組成的集合，滿足性質(zhì)：空集和A屬于T，并且T中任何兩個(gè)元素的交集和并集還屬于T，列舉出所有滿足條件的情況，可得答案．

解答： 解：∵A={a₁，a₂，a₃}，故A的子集有8個(gè)，除空集和A外，有三個(gè)單元集，三個(gè)兩元集；
由空集和A屬于T，可知T中最少有兩個(gè)元素，
又∵T中任何兩個(gè)元素的交集和并集還屬于T，故：
（1）T中有兩個(gè)元素時(shí)，T={∅，{a₁，a₂，a₃}}滿足要求；
（2）T中有三個(gè)元素時(shí)，均滿足要求，共有

C

1 6

=6種情況，
（3）①T中有四個(gè)元素時(shí)，其中除空集和A外的其它兩個(gè)元素為單元集，
　　　　如T={∅，{a₁}，{a₂}，{a₁，a₂，a₃}}時(shí)，{a₁}∪{a₂}∉T，不滿足要求，
　　�、赥中有四個(gè)元素時(shí)，其中除空集和A外的其它兩個(gè)元素為兩元集，
　　　　如T={∅，{a₁，a₃}，{a₂，a₃}，{a₁，a₂，a₃}}時(shí){a₁，a₃}∩{a₂，a₃}={a₃}∉T，不滿足要求，
　　　③T中有四個(gè)元素時(shí)，其中除空集和A外的其它兩個(gè)元素分別為單元集和兩元集時(shí)，滿足要求，共有

C

1 3

•

C

1 3

=9種情況，
（4）①T中有五個(gè)元素時(shí)，其中除空集和A外的其它三個(gè)元素為單元集，不滿足要求，
　　�、赥中有五個(gè)元素時(shí)，其中除空集和A外的其它三個(gè)元素為兩元集，不滿足要求，
　　�、跿中有五個(gè)元素時(shí)，其中除空集和A外的其它三個(gè)元素有兩個(gè)單元集和它們的并集，滿足要求，共有

C

2 3

=3種情況，
　　�、躎中有五個(gè)元素時(shí)，其中除空集和A外的其它三個(gè)元素有兩個(gè)兩元集和它們的交集，滿足要求，共有

C

2 3

=3種情況，
（5）T中有六個(gè)元素時(shí)，其中除空集和A外的其它三個(gè)元素有兩個(gè)單元集和它們的并集和另外一個(gè)二元集，滿足要求，共有

C

2 3

C

1 2

=6種情況，
（6）T中有七個(gè)元素時(shí)，均不滿足要求；
（7）T中有八個(gè)元素時(shí)，滿足要求；
綜上滿足條件的T有：1+6+9+3+3+6+1=29種情況，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是子集與真子集，集合中元素個(gè)數(shù)問(wèn)題，分類(lèi)討論和列舉是解答此類(lèi)問(wèn)題的方法，分類(lèi)時(shí)要注意不重不漏．