Question

（本小題滿分14分）

  已知函數(shù)

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；              

（Ⅱ）求時(shí)，證明：對(duì)于任意的且，恒有

（Ⅲ）設(shè)是函數(shù)的零點(diǎn)，實(shí)數(shù)滿足，試探究實(shí)數(shù)、 、的大小關(guān)系.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）．

【解析】(I)直接求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)大（�。┯诹�，解不等式可求出其單調(diào)增（減）區(qū)間.

(II) 令，則=， 記，再對(duì)h(x)求導(dǎo)，研究其單調(diào)性求出h(x)的最值，從而證明原不等式.

(III) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916403012884105/SYS201211191641525038603894_DA.files/image001.png">的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為 ，且，從而確定函數(shù)的零點(diǎn)只有一個(gè)，且，且對(duì)內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916403012884105/SYS201211191641525038603894_DA.files/image016.png">，所以，到此找到了解決此問題的突破口.

（Ⅰ）由得或．      ……2分

則的單調(diào)遞增區(qū)間為，，

單調(diào)遞減區(qū)間為．                                            ……4分

（Ⅱ）令，                         

則=，                              ……6分

記，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916403012884105/SYS201211191641525038603894_DA.files/image025.png">，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在遞減，在遞增，                              ……8分

所以成立，所以命題得證．                             ……9分

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916403012884105/SYS201211191641525038603894_DA.files/image001.png">的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為

，且，

所以函數(shù)的零點(diǎn)只有一個(gè)，且，

且對(duì)內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，都有                           ……11分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916403012884105/SYS201211191641525038603894_DA.files/image016.png">，所以                              ……12分

所以

在（Ⅱ）的結(jié)論中，取，，

則有……①

由，得……②

構(gòu)造函數(shù)

則由①得，由②得

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916403012884105/SYS201211191641525038603894_DA.files/image043.png">

所以為增函數(shù)

所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111916403012884105/SYS201211191641525038603894_DA.files/image045.png">，所以

綜上得．                                                 ……14分