Question

19．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過F₁的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于點A、B，若△ABF₂是以∠ABF₂為頂點的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率的平方為（　�。�

• A． 5+2$\sqrt{2}$
• B． 4+2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題設(shè)條件，利用雙曲線的定義，推導(dǎo)出|AF₂|=4a，再利用勾股定理確定a和c的關(guān)系式，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵過F₁的直線l與雙曲線的左支相交于A、B兩點，
且三角形ABF₂是以∠B為直角的等腰直角三角形，
∴設(shè)|BF₂|=|AB|=x，∠ABF₂=90°，
∴|AF₁|=x-|BF₁|=2a，
∴|AF₂|=4a，
∵∠ABF₂=90°，
∴2x²=16a²，解得|BF₂|=|AB|=2$\sqrt{2}$a，
∴|BF₁|=（2$\sqrt{2}$+2）a，
∴[（2$\sqrt{2}$+2）a]²+（2$\sqrt{2}$a）²=（2c）²，
∴e²=5+2$\sqrt{2}$，
故選A．

點評 本題考查雙曲線的離心率的平方的求法，解題時要熟練掌握雙曲線的性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．