Question

（2012•安徽模擬）過(guò)拋物線(xiàn)y=x²上異于原點(diǎn)的任意兩點(diǎn)A、B所作的兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)P，且交x軸于M、N（如圖），F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)．
（Ⅰ） 求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用A、B的橫坐標(biāo)x₁和x₂表示）；
（Ⅱ）求證：|FP|²=|FA|•|FB|；
（Ⅲ）設(shè)S_△OAB=λS_△PMN，試求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得切線(xiàn)方程，從而可求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）由拋物線(xiàn)的定義，求出|FA|、|FB|，利用兩點(diǎn)間的距離公式，求出|FP|²，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）分別求出S_△OAB，S_△PMN，即可求λ的值．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁和x₂，則
由y=x²可得y=2x，所以?xún)蓷l切線(xiàn)的方程分別為：
AP：y-

x

2 1

=2x1(x-x1)，BP：y-

x

2 2

=2x2(x-x2)，
聯(lián)立上述兩個(gè)方程解得P(

x1+x2

2

，x1x2)；          …（4分）
（Ⅱ）證明：由拋物線(xiàn)的定義可知：|AF|=

x

2 1

+

1

4

，|BF|=

x

2 2

+

1

4

∴|AF|•|BF|=(

x

2 1

+

1

4

)(

x

2 2

+

1

4

)=

x

2 1

x

2 2

+

1

4

(

x

2 1

+

x

2 2

)+

1

16

；
另一方面，∵F (0，

1

4

)，P(

x1+x2

2

，x1x2)，
∴|FP|2=(

x1+x2

2

)2+(x1x2-

1

4

)2=

x

2 1

x

2 2

+

1

4

(

x

2 1

+

x

2 2

)+

1

16

∴|FP|²=|FA|•|FB|；                       …（8分）
（Ⅲ）解：在（Ⅰ）中所求得的兩條切線(xiàn)方程中分別令y=0，即求出：M(

x1

2

，0)，N(

x2

2

，0)，
∴|MN|=

1

2

|x1-x2|，
又y_P=x₁x₂，∴S△PMN=

1

4

|x1-x2|•|x1x2|；
AB的方程為：（x₁+x₂）x-y-x₁x₂=0，故點(diǎn)O到AB的距離為：h=

|x1x2|

1+(x1+x2)2

，
∵|AB|=

(x1-x2)2+( x 2 1 - x 2 2 )2

=|x1-x2|•

1+(x1+x2)2

，
∴S△OAB=

1

2

|AB|•h=

1

2

|x1-x2|•|x1x2|，
∴S_△OAB=2S_△PMN，
∵S_△OAB=λS_△PMN，∴λ=2．                                      …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)上過(guò)某點(diǎn)切線(xiàn)方程的斜率，考查拋物線(xiàn)的定義，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．