【題目】已知函數(shù)(,)的周期為,圖象的一個對稱中心為,將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.
(1)求函數(shù)與的解析式;
(2)求證:存在,使得,,能按照某種順序成等差數(shù)列.
【答案】(1);;(2)證明見解析
【解析】
(1)由周期公式可得,,再由對稱中心可得值,可得解析式,由函數(shù)圖象變換和誘導(dǎo)公式化簡可得;
(2)當(dāng)時,問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解,由函數(shù)零點的存在性定理可得.
解:(1)函數(shù)的周期為,,
,
又曲線的一個對稱中心為,,
,可得,,
將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)后可得的圖象,
再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,
由誘導(dǎo)公式化簡可得;
(2)當(dāng)時,,,
,
問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解.
設(shè),,
,,且函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,
函數(shù)在內(nèi)存在零點,
即存在,使得,,能按照某種順序成等差數(shù)列.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義符號函數(shù),已知,.
(1)求關(guān)于的表達(dá)式,并求的最小值.
(2)當(dāng)時,函數(shù)在上有唯一零點,求的取值范圍.
(3)已知存在,使得對任意的恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓方程為.
(1)設(shè)橢圓的左右焦點分別為、,點在橢圓上運動,求的值;
(2)設(shè)直線和圓相切,和橢圓交于、兩點,為原點,線段、分別和圓交于、兩點,設(shè)、的面積分別為、,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱中,底面為菱形,且側(cè)棱 其中為的交點.
(1)求點到平面的距離;
(2)在線段上,是否存在一個點,使得直線與垂直?若存在,求出線段的長;若不存在,請說明理由.
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【題目】對于項數(shù)為m(且)的有窮正整數(shù)數(shù)列,記,即為中的最小值,設(shè)由組成的數(shù)列稱為的“新型數(shù)列”.
(1)若數(shù)列為2019,2020,2019,2018,2017,請寫出的“新型數(shù)列”的所有項;
(2)若數(shù)列滿足,且其對應(yīng)的“新型數(shù)列”項數(shù),求的所有項的和;
(3)若數(shù)列的各項互不相等且所有項的和等于所有項的積,求符合條件的及其對應(yīng)的“新型數(shù)列”.
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【題目】已知橢圓的離心率為,焦距為,拋物線的焦點F是橢圓的頂點.
(1)求與的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)上不同于F的兩點P,Q滿足以PQ為直徑的圓經(jīng)過F,且直線PQ與相切,求的面積.
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【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè),(其中是的導(dǎo)數(shù)),求的最小值;
(2)設(shè),若有零點,求的取值范圍.
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【題目】某沿海城市的海邊有兩條相互垂直的直線型公路、,海岸邊界近似地看成一條曲線段.為開發(fā)旅游資源,需修建一條連接兩條公路的直線型觀光大道,且直線與曲線有且僅有一個公共點P(即直線與曲線相切),如圖所示.若曲線段是函數(shù)圖像的一段,點M到、的距離分別為8千米和1千米,點N到的距離為10千米,點P到的距離為2千米.以、分別為x,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.
(1)求曲線段的函數(shù)關(guān)系式,并指出其定義域;
(2)求直線的方程,并求出公路的長度(結(jié)果精確到1米).
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