Question

10．（1）關(guān)于x的不等式mx²+6mx+m+8≥0在R上恒成立，求m的取值范圍；
（2）對(duì)于集合A={x|x²-2ax+4a-3=0}，B={x|x²-2$\sqrt{2}$x+a²+a+2=0}是否存在實(shí)數(shù)a，使A∪B=∅？若存在，求出a的取值，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）分m=0與m≠0兩類討論，即可求得m的取值范圍；
（2）依題意，x²-2ax+4a-3=0與x²-2$\sqrt{2}$x+a²+a+2=0均無實(shí)數(shù)解，利用$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}={4a}^{2}-4（4a-3）＜0}\\{{△}_{2}=8-4{（a}^{2}+a+2）＜0}\end{array}\right.$，即可解得的取值范．

解答 解：（1）①當(dāng)m=0時(shí)，8≥0，∴m=0成立；
 ②當(dāng)m≠0時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=3{6m}^{2}-4m（m+8）=32m（m-1）≤0}\end{array}\right.$，
∴0＜m≤1，
由①②可知，0≤m≤1．
（2）∵A∪B=∅，
∴A=B=∅，即二次方程：x²-2ax+4a-3=0與x²-2$\sqrt{2}$x+a²+a+2=0均無實(shí)數(shù)解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}={4a}^{2}-4（4a-3）＜0}\\{{△}_{2}=8-4{（a}^{2}+a+2）＜0}\end{array}\right.$，解得：1＜a＜3．
故當(dāng)1＜a＜3時(shí)，A∪B=∅．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，突出考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)換思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．