Question

已知函數(shù)f(x)＝ax－ln(－x)，x∈[－e,0)，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R.

(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，確定f(x)的單調(diào)性和極值；

(2)當(dāng)a＝－1時(shí)，證明：

(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為3，如果存在，求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解析　(1)∵f(x)＝－x－ln(－x)，f′，

∴當(dāng)－e≤x<－1時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)－1<x<0時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增．∴f(x)的極小值為f(－1)＝1.

(2)由(1)知f(x)在區(qū)間[－e,0)上有唯一的極小值1，即f(x)在區(qū)間[－e,0)上的最小值為1，

即f(x)_min＝1.所證不等式即f(x)>－.

.

當(dāng)－e≤x<0時(shí)，h′(x)≤0，故h(x)在[－e,0)上單調(diào)遞減．

∴h(x)_max＝h(－e)＝＋<＋＝1＝f(x)_min.

∴當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＋>.

(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)＝ax－ln(－x)的最小值為3.f′(x)＝a－(x∈[－e,0))．

①若a≥－，由于x∈[－e,0)，則f′(x)＝a－≥0.

∴函數(shù)f(x)＝ax－ln(－x)在[－e,0)上是增函數(shù)．

∴f(x)_min＝f(－e)＝－ae－1＝3，解得a＝－<－，與

a≥－矛盾，舍去．

②若a<－，則當(dāng)－e≤x<時(shí)，f′(x)＝a－<0，此時(shí)f(x)＝ax－ln(－x)是減函數(shù)．

當(dāng)<x<0時(shí)，f′(x)＝a－>0，此時(shí)f(x)＝ax－ln(－x)是增函數(shù)．∴f(x)_min＝f()＝1－ln(－)＝3，解得a＝－e².

由①②知，存在實(shí)數(shù)a＝－e²，使f(x)的最小值為3.