Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．圓C₁和直線C₂的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4sinθ，ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求圓C₁和直線C₂的直角坐標(biāo)方程．
（2）求圓C₁和直線C₂交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，以及兩角差的余弦公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求直角坐標(biāo)方程；
（2）聯(lián)立直線和圓方程，解得交點(diǎn)，化為極坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，
ρ=4sinθ，即為ρ²=4ρsinθ，
即有x²+y²=4y；
ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，即為ρ（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=2$\sqrt{2}$，
即x+y=4，
即有${C_1}：{x^2}+{（y-{2^{\;}}）^2}=4$，C₂：x+y-4=0；
（2）將直線和圓的方程聯(lián)立后，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4y=0}\end{array}\right.$
解得直角坐標(biāo)為（0，4），（2，2），
則交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（4，$\frac{π}{2}$），（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$） （注：極坐標(biāo)表示法不唯一）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程的互化，直線和圓的交點(diǎn)坐標(biāo)求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．