設(shè)函數(shù)f（x）=loga（1-
a
x
），其中0＜a＜1．
（Ⅰ）證明：f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)；
（Ⅱ）若f（x）＞1，求x的取值范圍．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（Ⅰ）設(shè)0＜a＜x1＜x2，g（x）=1-
a
x
，則g（x1 ）-g（x2）=
a(x1-x2)
x1x2
＜0，進(jìn)而f（x1 ）＞f（x2 ），得f（x）在（a，+∞）遞減；
（Ⅱ）由
log
(1-
a
x
)
a
＞1，得1-a＜
a
x
＜1，從而a＜x＜
a
1-a
，從而求出x的范圍．
解答： 解：（Ⅰ）設(shè)0＜a＜x1＜x2，g（x）=1-
a
x
，
則g（x1 ）-g（x2）=（1-
a
x1
）-（1-
a
x2
）=
a(x1-x2)
x1x2
＜0，
∴g（x1 ）＜g（x2 ），
又∵0＜a＜1，
∴f（x1 ）＞f（x2 ），
∴f（x）在（a，+∞）遞減；
（Ⅱ）∵
log
(1-
a
x
)
a
＞1，
∴0＜1-
a
x
＜a，
∴1-a＜
a
x
＜1，
∵0＜a＜1，
∴1-a＞0，
從而a＜x＜
a
1-a
，
∴x的范圍是（a，
a
1-a
）．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，在直角梯形A1A2A3D中，A1A2⊥A1D，A1A2⊥A2A3，且B，C分別是邊A1A2，A2A3上的點(diǎn)，沿線段 BC，CD，DB分別將△BCA2，△CDA3，△DBA1翻折上去恰好使 A1，A2，A3重合于一點(diǎn)A（如圖2）
（1）求證：AB⊥CD；
（2）已知A1D=10，A1A2=8，試求：BD與平面ABC所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=mx+lnx，其中m為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)m=-1時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為-3，求m的值；
（3）當(dāng)m=-1時(shí)，g（x）=
lnx
x
+
1
2
，試證明函數(shù)y=|f（x）|的圖象恒在函數(shù)y=g（x）的圖象的上方．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知全集U={x|x≤9，x∈N*}，A∩∁UB={1，6}，∁UA∩∁UB={2，5，9}，∁UA∩B={4，8}，求集合A，B．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，棱錐A1-ABCD的體積與長方體體積之比為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在試圖破壞一座軍火庫的行動中，一架轟炸機(jī)將要在一個1km見方的區(qū)域中投下炸彈，這個區(qū)域的每個角上都有一座被遺棄的建筑．若炸彈落在距任一建筑物
1
3
km的范圍內(nèi)，該建筑將被摧毀（建筑物的大小可忽略不計(jì)），試求如下概率：
（1）沒有任何建筑物被摧毀；
（2）其中有一座建筑物被摧毀；
（3）至少有兩座建筑物被同時(shí)摧毀．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四面體ABCD中，已知所有棱長都為a，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)．異面直線EF、AD所成角的大小為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：?x∈[0，1]，a≥ex，命題q：“?x∈R，x2+4x+a=0”，若命題“p∧q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

命題：“若xy=0，則x=0或y=0”的否命題是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案