Question

已知函數(shù)f(x)=4sinx•sin2(

π

4

+

x

2

)+cos2x．
（I）設(shè)ω＞0為常數(shù)，若y=f(ωx)在區(qū)間[-

π

2

，

2π

3

]上是增函數(shù)，求ω的取值范圍
（II）若|f（x）-m|＜2成立的充分條件是

π

6

≤x≤

2π

3

，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù) f(x)=4sinxsin2(

π

4

+

x

2

)+cos2x，然后利用 [-

π

2

，

2π

3

]是函數(shù)增區(qū)間的子集，解答即可．
（2）先求|f（x）-m|＜2中的m的范圍表達(dá)式，f（x）-2＜m＜f（x）+2，m大于f（x）-2的最大值，小于f（x）+2的最小值，即可．

解答：解：（I）f(x)=2sinx(1-cos(

π

2

+x))+cos2x=1+2sinx…3分
由題意，[-

π

2

，

2π

3

]⊆[-

π

2ω

，

π

2ω

]，
只須 

2π

3

≤

π

2ω

，⇒ω≤

3

4

，又ω＞0，
∴ω∈(0，

3

4

]，
得ω的取值范圍(0，

3

4

]…6分
（II）由題意，當(dāng)

π

6

≤x≤

2π

3

時(shí)，

1

2

≤sinx≤1，
2sinx-1＜m＜2sinx+3恒成立 …8分
可得（2sinx-1）_max＜m＜（2sinx+3）_min
當(dāng)sinx=1時(shí)，（2sinx-1）_max=1；
當(dāng)sinx=

1

2

時(shí)，（2sinx+3）_min=4；
∴1＜m＜4…10分．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍1＜m＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域，子集知識(shí)，不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．