Question

10．定義行列式$|\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\end{array}|$=a₁a₄-a₂a₃，函數(shù)g（θ）=$|\begin{array}{l}{sinθ}&{3-cosθ}\\{m}&{sinθ}\end{array}|$（其中$0≤θ≤\frac{π}{2}$）．
（1）求$g（\frac{π}{2}）$的值；
（2）若函數(shù)g（θ）的最大值為4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由條件可得g（θ）=sin²θ-m（3-cosθ），從而求得$g（\frac{π}{2}）$的值．
（2）根據(jù)g（θ）=-${（cosθ-\frac{m}{2}）}^{2}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+1，cosθ∈[0，1]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得當(dāng)g（θ）的最大值為4時(shí)，m的值．

解答 解：（1）∵行列式$|\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\end{array}|$=a₁a₄-a₂a₃，函數(shù)g（θ）=$|\begin{array}{l}{sinθ}&{3-cosθ}\\{m}&{sinθ}\end{array}|$=sin²θ-m（3-cosθ） （其中$0≤θ≤\frac{π}{2}$）．
∴$g（\frac{π}{2}）$=${sin}^{2}\frac{π}{2}$-m（3-cos$\frac{π}{2}$）=1-3m．
（2）∵函數(shù)g（θ）=sin²θ-m（3-cosθ）=1-cos²θ+mcosθ-3m=-${（cosθ-\frac{m}{2}）}^{2}$+$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+1．
∵$0≤θ≤\frac{π}{2}$，∴cosθ∈[0，1]．
當(dāng)$\frac{1}{2}$m∈[0，1]時(shí)，可得當(dāng)cosθ=$\frac{m}{2}$時(shí)，g（θ）的最大值為4，即 $\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+1=4，求得m=6+4$\sqrt{3}$ （舍去）或m=6-4$\sqrt{3}$（舍去）．
當(dāng)$\frac{1}{2}$m＜0時(shí)，可得當(dāng)cosθ=0時(shí)，g（θ）的最大值為1-3m=4，∴m=-1．
$\frac{1}{2}m$＞1時(shí)，可得當(dāng)cosθ=1時(shí)，g（θ）的最大值為m-3m=-2m=4，∴m=-2（舍去）．
綜上可得，m=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義，余弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．