Question

已知橢圓E的長軸的一個端點是拋物線
（I）求橢圓E的方程；
（II）過點C（-1，0），斜率為k的動直線與橢圓E相交于A、B兩點，請問x軸上是否存在點M，使恒為常數(shù)？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）由題意，橢圓的焦點在x軸上，且a=，c=e•a=×=，故b===，
所以，橢圓E的方程為+=1，即x²+3y²=5．
（II）假設存在點M符合題意，設AB：y=k（x+1），
代入方程E：x²+3y²=5，得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），則
x₁+x₂=-，x₁x₂=；
∴•=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²=m²+2m--，
要使上式與k無關，則有6m+14=0，解得m=-；
所以，存在點M（-，0）滿足題意．
分析：（I）橢圓的焦點在x軸上，且a=，e=，故c、b可求，所以橢圓E的方程可以寫出來．
（II）假設存在點M符合題意，設AB為y=k（x+1），代入方程E可得關于x的一元二次方程（*）；
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），由方程（*）根與系數(shù)的關系可得，x₁+x₂，x₁x₂；計算•得關于m、k的代數(shù)式，要使這個代數(shù)式與k無關，可以得到m的值；從而得點M．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合應用問題，也考查了橢圓的標準方程及其幾何性質，考查了一定的計算能力．