已知橢圓C的離心率e=
3
2
,長軸的左右端點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),直線A1P與A2Q交于點(diǎn)S,試問:當(dāng)m變化時,點(diǎn)S是否恒在一條定直線上?若是,請寫出這條直線方程,并證明你的結(jié)論;若不是,請說明理由.
分析:(I)設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
,由a=2,e=
3
2
,知c=
3
,b2=1,由此能求出橢圓C的方程.
(II)取m=0,得P(1,
3
2
),Q(1,-
3
2
),直線A1P的方程是y=
3
6
x+
3
3
,直線A1P的方程是y=
3
6
x+
3
3
,直線A2Q的方程為是y=
3
2
x-
3
交點(diǎn)為S1(4,
3
)
.若P(1,-
3
2
) ,Q(1,
3
2
)
,由對稱性可知S2(4,-
3
)
,若點(diǎn)S在同一條直線上,由直線只能為l:x=4.
解答:解:(I)設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)

a=2,e=
3
2
,∴c=
3
,b2=1,
∴橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1

(II)取m=0,得P(1,
3
2
),Q(1,-
3
2
),
直線A1P的方程是y=
3
6
x+
3
3
,
直線A1P的方程是y=
3
6
x+
3
3
,直線A2Q的方程為是y=
3
2
x-
3
交點(diǎn)為S1(4,
3
)

P(1,-
3
2
) ,Q(1,
3
2
)
,由對稱性可知S2(4,-
3
)

若點(diǎn)S在同一條直線上,由直線只能為l:x=4.
以下證明對于任意的m,直線A1P與A2Q的交點(diǎn)S均在直線l:x=4上,
事實(shí)上,由
x2
4
+y2=1
x=my+1
,
得(my+1)2+4y2=4,即(m2+4)y2+2my-3=0,
記P(x1,y1),Q(x2,y2),
y1+y2=
-2m
m2+4
,y1 y2=
-3
m2+4
,
記A1P與l交于點(diǎn)S0(4,y0),
y0
4+2
=
y1
x1+2
,得y0=
6y1
x1+2

設(shè)A2Q與l交于點(diǎn)S‘0(4,y′0),
y0
4-2
=
y2
x2-2
,得y0=
2y2
x2-2

y0-y0=
6y1
x1+2
-
2y2
x2-2

=
6y1(my2-1)-2y2 (my1+3)
(x1+2)(x2-2) 

=
4my1y2-6(y1+y2)
(x1+2)(x2-2)

=
-12m
m2+4
-
-12m
m2+4
(x1+2)(x2-2)
=0
,
∴y0=y′0,即S0與S‘0重合,
這說明,當(dāng)m變化時,點(diǎn)S恒在定直線l:x=4上.
點(diǎn)評:本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用,解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價變換.注意對稱性的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的離心率e=
3
2
,長軸的左右兩個端點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0);
(1)求橢圓C的方程;
(2)點(diǎn)M在該橢圓上,且
MF1
MF2
=0,求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離;
(3)過點(diǎn)(1,0)且斜率為1的直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),求△OPQ的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的離心率e=
3
2
,且它的焦點(diǎn)與雙曲線x2-2y2=4的焦點(diǎn)重合,則橢圓C的方程為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的離心率e=
3
5
且焦距為6,則橢圓C的長軸長等于( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江西省宜春市樟樹中學(xué)高二(上)第四次月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C的離心率e=,長軸的左右兩個端點(diǎn)分別為A1(-2,0),A2(2,0);
(1)求橢圓C的方程;
(2)點(diǎn)M在該橢圓上,且=0,求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離;
(3)過點(diǎn)(1,0)且斜率為1的直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),求△OPQ的面積.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案