Question

設(shè)P ( x+a，y₁)，Q ( x，y₂ )，R ( 2+a，y₃ )是函數(shù)y = f ( x )圖像上的三個(gè)不同點(diǎn)，如果把函數(shù)y = f ( x )的圖像向左平移a個(gè)單位，再向下平移b個(gè)單位，所得圖像與函數(shù)y = log₂x－b的圖像相同，并且使2 y₂  = y₁ + y₃成立的實(shí)數(shù)x有且只有一個(gè)．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：依題意，把函數(shù)y = log2x－b的圖像向上平移b個(gè)單位，再向右平移a個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)即 y = f ( x )， ∴ y = f ( x ) = log2 (x－a) ． 并且  y1 = log2x，y2 = log2 (x－a)，y3 = log22 = 1 ． ∵ 2 y2  = y1 + y3，  即  2 log2 (x－a) = log2x + 1， 　　 　　 　　 ① 　　 ② 　　 　　     對(duì)于x的一元二次方程②， △ = (2a+2)2－4a2 = 8a + 4 = 4 (2a + 1) ． 當(dāng)時(shí)，△= 0，故方程②有兩相等的實(shí)數(shù)根，為x = a+1，且a+1 > a， ∴  時(shí)，使題設(shè)要求成立． 當(dāng)時(shí)，△> 0，故方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，為．  又 ∵， ∴  要使題設(shè)要求成立，必有：． 解此不等式易得   a ≥ 0． 綜上可得所求的a的取值范圍為或  a ≥ 0

提示：

函數(shù)f ( x )可依它與函數(shù)y = log2x－b的關(guān)系得到．2 y2  = y1 + y3實(shí)際上是一個(gè)關(guān)于x的方程，考慮方程有且只有一個(gè)實(shí)根的條件．