Question

已知數(shù)列{a_n }的各項為正數(shù)，前n和為S_n且S_n=

an(an+1)

2

，n∈N+
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n }是等差數(shù)列；  
（Ⅱ）設(shè)bn=2nan，T_n=b₁+b₂+…+b_n求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由遞推式求出a₁，把遞推式兩邊同時乘以2后用n-1替換n，兩式作差后可斷定數(shù)列{a_n }是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求出等差數(shù)列{a_n }的通項公式，代入b_n后運用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=

an(an+1)

2

，n∈N+
得：S1=

a1(a1+1)

2

，∴a₁=1，
再由S_n=

an(an+1)

2

，n∈N+，得：2Sn=an2+an①
所以2Sn-1=an-12+an-1  (n≥2)②
①-②得：2an=an2-an-12+an-an-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
因為數(shù)列{a_n }的各項為正數(shù)，所以a_n-a_n-1=1（n≥2），
所以數(shù)列{a_n }是等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（1）可得a_n=n，
所以bn=n2n，
所以Tn=b1+b2+…+bn=1×2+2×22+…+n•2n③
則2Tn=1×22+2×23+…+n•2n+1④
④-③得：-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1，
所以Tn=n•2n+1+2-2n+1．

點評：本題考查了等差數(shù)列的確定，考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了利用錯位相減法求數(shù)列的和，一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的積數(shù)列，求其前n項和的方法就是錯位相減法，此題是中檔題．