Question

已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的圖象經(jīng)過點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈R時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）若x∈[0，]，是否存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)的最大值為4？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的圖象經(jīng)過點(diǎn)．代入構(gòu)造a，b的方程，得到實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）由（I）中結(jié)論結(jié)合和差角公式，將函數(shù)f（x）的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）由x∈[0，]可得x-∈[-，]進(jìn)面可求出的最大值的表達(dá)式，進(jìn)而求出滿足條件的m的值．
解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的圖象經(jīng)過點(diǎn)
∴，（4分）         
解得：a=，b=-1  （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sinx-cosx=2sin（x-）（7分）
由，
所以f（x）遞減區(qū)間為（9分）
（Ⅲ）∵x∈[0，]，
∴x-∈[-，]，（10分）

∴當(dāng)x-=，即x=時(shí)，
，（12分）
g（x）_max=3+m²，
∴3+m²=4，
∴m=±1所以存在實(shí)數(shù)m=±1使g（x）的最大值為4（14分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是正弦函數(shù)的定義域和值域，正弦函數(shù)的單調(diào)性，其中求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．