Question

4．已知空間向量$\overrightarrow{a}$=（0，$\frac{5}{4}$，-$\frac{5}{4}$），$\overrightarrow$=（x，0，-2），則“x=2”是“＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{π}{3}$”的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義結(jié)合向量夾角公式以及充分條件和必要條件的定義進行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（0，$\frac{5}{4}$，-$\frac{5}{4}$），$\overrightarrow$=（x，0，-2），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（0，$\frac{5}{4}$，-$\frac{5}{4}$）•（x，0，-2）=$\frac{5}{4}$×2=$\frac{5}{2}$，
則|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{（\frac{5}{4}）^{2}+（-\frac{5}{4}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，
若＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{π}{3}$，
則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$，
即$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5\sqrt{2}}{4}•\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{1}{2}$，
平方得$\frac{2}{{x}^{2}+4}=\frac{1}{4}$，得x²=4，即x=±2，
即“x=2”是“＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{π}{3}$”的充分不必要條件，
故選：A

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合空間向量夾角公式是解決本題的關(guān)鍵．