Question

已知函數(shù)f（x）=mx+lnx，m∈R
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）求證：f（x）_最大值≥2

2+m

-3．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）通過求導得f′（x）=m+

1

x

，m≥0時，f′（x）＞0，該函數(shù)無極值，m＜0時，函數(shù)在x=-

1

m

時有極值；
（Ⅱ）將證明不等式的問題轉化為比較兩個函數(shù)的最值問題，從而問題得以解決．

解答： （Ⅰ）解：∵f′（x）=m+

1

x

，
m≥0時，f′（x）＞0，該函數(shù)無極值
m＜0時，函數(shù)在x=-

1

m

時，函數(shù)取得極大值-1-ln（-m），極小值不存在
（Ⅱ）證：由（Ⅰ）得：m＜0時，f（x）_max=-1-ln（-m），
∴即證-1-ln（-m）≥2

2+m

-3，
令

2+m=t

，
∴m=2-t²，
即證e^2-2t≥2-t²
∵-2≤m＜0，
∴-

2

≤t≤

2

，
令y₁=e^2-2t，y₂=2-t²，
當t=

2

時，y₁ 最小，y₁ min=e2-2

2

＞0，
當t＞0時，y₂遞減，t=

2

時，y₂=0，
∴y₁≥y₂，
∴f（x）_最大值≥2

2+m

-3．

點評：本題考察了函數(shù)的最值問題，導數(shù)的應用問題，滲透了轉化思想，換元思想，以及二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質問題，是一道綜合題．