Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，A．B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P與A、B均不重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（3）若M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，且=2，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）寫出圓的方程，利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出b的值，利用橢圓的離心率公式得到a，c的關(guān)系，再利用橢圓本身三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出a，c的值，從而可得橢圓的方程；
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，將其代入橢圓的方程得到P的坐標(biāo)的關(guān)系，寫出A，B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)連線的斜率公式求出k₁，k₂，將P的坐標(biāo)的關(guān)系代入k₁k₂化簡求出其值．
（3）設(shè)出M的坐標(biāo)，求出P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)的距離公式將已知的幾何條件用坐標(biāo)表示，化簡即可求點(diǎn)M的軌跡方程．
解答：（1）解：由題意可得圓的方程為x²+y²=b²，
∵直線x-y+2=0與圓相切，
∴d==b，即b=，
又e==，即a=c，
∵a²=b²+c²，
∴a=，c=1，
∴橢圓方程為；
（2）證明：設(shè)P（x，y）（y≠0），A（-，0），B（，0），
∴k₁=，k₂=
∵，∴，
∴k₁•k₂===-；
（3）解：設(shè)M（x，y），其中x∈[-，]．
由已知=2及點(diǎn)P在橢圓C上可得=4
整理得，其中x∈[-，]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線的斜率，考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．