Question

11．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥平面ABC，點(diǎn)C在平面PBA內(nèi)的射影D在直線PB上．
（1）求證：AB⊥平面PBC；
（2）設(shè)AB=BC，直線PA與平面ABC所成的角為45°，求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明AB⊥PC．AB⊥CD．然后證明AB⊥平面PBC．
（2）說(shuō)明∠PAC為直線PA與平面ABC所成的角．以B為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)$\overrightarrow{BE}$是平面PAC的法向量．求出平面PAB的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值．

解答 解：（1）證明：∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴AB⊥PC．
∵點(diǎn)C在平面PBA內(nèi)的射影D在直線PB上，∴CD⊥平面PBA．
又∵AB?平面PBA，∴AB⊥CD．
又∵CD∩PC=C，∴AB⊥平面PBC．

（2）∵PC⊥平面ABC，∴∠PAC為直線PA與平面ABC所成的角．
于是∠PAC=45°，設(shè)AB=BC=1，則$PC=AC=\sqrt{2}$，以B為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則$B（{0，0，0}），A（{0，1，0}），C（{1，0，0}），P（{1，0，\sqrt{2}}）$，
取AC的中點(diǎn)E，連接BE，則$\overrightarrow{BE}=（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0}）$，∵AB=BC，∴BE⊥AC．
又∵平面PCA⊥平面ABC，∴BE⊥平面PAC．∴$\overrightarrow{BE}$是平面PAC的法向量．設(shè)平面PAB的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，則由$\left\{\begin{array}{l}n⊥\overrightarrow{BA}\\ n⊥\overrightarrow{AP}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x-y+\sqrt{2}z=0\end{array}\right.$取z=1，得$\left\{\begin{array}{l}y=0\\ x=-\sqrt{2}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow n=（{-\sqrt{2}，0，1}）$．
于是$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{BE}}\right＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{BE}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{BE}}|}}=\frac{{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\sqrt{3}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
又∵二面角C-PC-B為銳角，∴所求二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角以及直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．