Question

（1）等比數(shù)列{a_n}中，對任意n≥2，n∈N時(shí)都有a_n-1，a_n+1，a_n成等差，求公比q的值；
（2）設(shè)S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，當(dāng)S₃，S₉，S₆成等差時(shí)，是否有a₂，a₈，a₅一定也成等差數(shù)列？說明理由；
（3）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項(xiàng)和為S_n，是否存在正整數(shù)k，使S_m-k，S_m+k，S_m成等差且a_n-k，a_n+k，a_n也成等差，若存在，求出k與q滿足的關(guān)系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 a_n-1+a_n=2a_n+1 ，1+q=2q² ，由此求得公比q的值．
（2）當(dāng)q=1時(shí)S_n=na₁，顯然3a₁，9a₁，6a₁不是等差數(shù)列，所以q≠1，由S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列化簡可得q3=-

1

2

，
可得a2+a2q3=2a2q6，a₂+a₅=2a₈，從而得出結(jié)論．
（3）當(dāng)q=1時(shí)，檢驗(yàn)不滿足條件．所以q≠1，Sn=

a1(1-qn)

1-q

．由S_m-k，S_m+k，S_m成等差數(shù)列化簡可得得 qk=-

1

2

，或q^k=1．分k為偶數(shù)、k為奇數(shù)兩種情況，分別求出k與q滿足的關(guān)系，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)，a_n-1，a_n+1，a_n成等差，故有a_n-1+a_n=2a_n+1 ，1+q=2q²．
解得q=1或q=-

1

2

．…5分
（2）當(dāng)q=1時(shí)S_n=na₁，顯然3a₁，9a₁，6a₁不是等差數(shù)列，
所以q≠1，Sn=

a1(1-qn)

1-q

．由S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列得

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=2

a1(1-q9)

1-q

，
化簡可得q³+q⁶=2q⁹，求得q3=-

1

2

 或q³=1（不合題意）所以q3=-

1

2

．
所以 1+q³=2q⁶，a2+a2q3=2a2q6，a₂+a₅=2a₈．
即一定有a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．…11分
（3）假設(shè)存在正整數(shù)k，使S_m-k，S_m+k，S_m成等差且a_n-k，a_n+k，a_n也成等差．
當(dāng)q=1時(shí)S_n=na₁，顯然（m-k）a₁，（m+k）a₁，ma₁不是等差數(shù)列，
所以q≠1，Sn=

a1(1-qn)

1-q

． …13分
由S_m-k，S_m+k，S_m成等差數(shù)列得

a1(1-qm-k)

1-q

+

a1(1-qm)

1-q

=2

a1(1-qm+k)

1-q

，
即 q^m-k+q^m=2q^m+k ，即 1+q^k=2q^2k． 解得 qk=-

1

2

，或q^k=1．…16分
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，q=-1，則有S_m-k=S_m+k=S_m且a_n-k=a_n+k=a_n．
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，qk=-

1

2

；∴1+q^k=2q^2k，∴an-k+an-kqk=2an-kq2k，
∴a_n-k+a_n=2a_n+k．
綜上所述，存在正整數(shù)k（k＜m，k＜n）滿足題設(shè)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，q=-1；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，qk=-

1

2

．…18分．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．