Question

16．（1）對(duì)于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x滿足f（-x）=-f（x）則稱f（x）為局部函數(shù)，已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2x-4a（a∈R，a≠0）是定義域在R上的局部函數(shù)，則滿足f（-x）=-f（x）的x值是±2
（2）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A、B滿足條件：點(diǎn)A、B都在f（x）的圖象上；點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)稱點(diǎn)（A、B）對(duì)是函數(shù)的一個(gè)姊妹點(diǎn)對(duì)點(diǎn)對(duì)（A、B）與（B、A）可看做一個(gè)姊妹點(diǎn)對(duì)．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x＜0}\\{\frac{2}{{e}^{x}}，x≥0}\end{array}\right.$則f（x）的姊妹點(diǎn)對(duì)個(gè)數(shù)為2．

Answer 1

分析 （1）若f（x）為“局部奇函數(shù)”，則根據(jù)定義計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意：“姊妹點(diǎn)”，可知，欲求f（x）的“姊妹點(diǎn)”，只須作出函數(shù)y=x²+2x（x＜0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，看它與函數(shù)y=$\frac{2}{{e}^{x}}$（x≥0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（1）若f（x）為“局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于x的方程f（-x）+f（x）=0有解．
當(dāng)f（x）=ax²+2x-4a時(shí)，
由f（-x）+f（x）=0得2a（x²-4）=0
解得x=±2，
（2）根據(jù)題意：“姊妹點(diǎn)對(duì)”，可知，
只須作出函數(shù)y=x²+2x（x＜0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，
看它與函數(shù)y=$\frac{2}{{e}^{x}}$（x≥0）交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．如圖，
觀察圖象可得：它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是：2．
即f（x）的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有：2個(gè)．
故答案為：±2，2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與函數(shù)奇偶性有關(guān)的新定義，合理地利用圖象法解決，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．