Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，若在區(qū)間上的最小值為，求的取值范圍；

（Ⅲ）若對任意，有恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）把a=1代入函數(shù)解析式，求導后求出f′（1），同時求出f（1），由點斜式寫出切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的定義域，求出原函數(shù)的導函數(shù)，進一步求出導函數(shù)的零點，分和三種情況討論三種情況討論原函數(shù)的單調性，由f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2求解的取值范圍；
（Ⅲ）構造輔助函數(shù)g（x）=f（x）+2x，問題轉化為函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調遞增，求解的范圍．把函數(shù)g（x）求導后分 =0和≠0討論， ≠0時借助于二次函數(shù)過定點及對稱軸列式求解．

試題解析：

（1）由，則

，所以切線方程為

（2）

令

當時， 在上單調遞增，

當時， 在上單調遞減， （舍）

當時， 在上單調遞減， 在上單調遞增， （舍）

綜上，

（3）令

令，只要在上單調遞增即可.

在上恒成立.

在上恒成立.

當時， 恒成立；

當時，原不等式

當時，原不等式，左邊無最大值，不合題意（舍）

綜上， .