如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點F1、F2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．

(1)求橢圓的方程．

(2)若直線l1：x＝m(|m|＞1)，P為l1上的動點，使∠F1PF2最大的點P記為Q，求點Q的坐標(biāo)(用m表示)．

答案：
解析：

　　解：(1)設(shè)橢圓方程為＝1(a＞b＞0)，

　　半焦距為c，則l的方程為x＝－．

　　∴|MA1|＝－a，|A1F1|＝a－c．

　　由題意得

　　∴a＝2，b＝3，c＝1．故所求橢圓方程為＝1．

　　(2)設(shè)P(m，y0)，|m|＞1，當(dāng)y0＝0時，∠F1PF2＝0，

　　當(dāng)y0≠0時，0＜∠F1PF2＜．

　　∴只需求tan∠F1PF2最大時y0的值即可．

　　設(shè)直線PF1的斜率為k1＝，直線PF2的斜率為k2＝，

　　∴tan∠F1PF2＝|．

　　當(dāng)且僅當(dāng)＝|y0|，即y0＝±時，∠F1PF2最大．

　　∴所求點Q的坐標(biāo)為Q(m，±)．


提示：

本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)與定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、兩條直線的夾角，點的坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．可利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義求出方程，再用斜率公式、夾角公式求解第(2)問．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點為M，|MA1|：|A1F1|=2：1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l1：x=m（|m|＞1），P為l1上的動點，使∠F1PF2最大的點P記為Q，求點Q的坐標(biāo)（用m表示）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個不同點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
3
2
，且經(jīng)過點M（4，1）．直線l：y=x+m交橢圓于A，B兩不同的點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)|AB|=
12
5
2
時，求m的值；
（3）若直線l不過點M，求證：直線MA，MB與x軸圍成一個等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，它的一個頂點為A（0，
2
），且離心率為
3
2
．
（ I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（ II）過點M（0，2）的直線l與橢圓相交于不同兩點P、Q，點N在線段PQ上．設(shè)
|
MP
|
|
PN
|
=
|
MQ
|
|
NQ
|
=λ，試求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•馬鞍山二模）如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），直線l交橢圓于A、B兩個不同點（A、B與M不重合）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)MA⊥MB時，求m的值．

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