Question

20．過拋物線x=8y²的焦點作兩條互相垂直的弦AB、CD，則$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$=8．

Answer 1

分析 設(shè)出兩直線的傾斜角，利用焦點弦的弦長公式分別表示出|AB|，|CD|即可求得答案．

解答 解：拋物線x=8y²化為：拋物線y²=$\frac{1}{8}$x，可知2p=$\frac{1}{8}$，
不妨設(shè)直線l₁的傾斜角為θ∈[0，$\frac{π}{2}$），則l₂的傾斜角為$\frac{π}{2}$+θ，
過焦點的弦，|AB|=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$，|CD|=$\frac{2p}{si{n}^{2}（\frac{π}{2}+θ）}$=$\frac{2p}{co{s}^{2}θ}$
∴$\frac{1}{{|{AB}|}}+\frac{1}{{|{CD}|}}$=$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{2p}$=$\frac{1}{2p}$=8，
故答案為：8．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．對于過焦點的弦，能熟練掌握相關(guān)的結(jié)論，解決問題事半功倍．