Question

5．已知函數(shù)f（x）定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=e^x（x+1），給出下列命題：
①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e^x（1-x）
②函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)
③f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2
其中正確命題個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性與x＜0時(shí)的解析式可得函數(shù)f（x）在R上的解析式，據(jù)此分析選項(xiàng)：易得①②錯(cuò)誤，對于③、由函數(shù)的解析式分x＜0與x＞0兩種情況求出分（x）＞0的解集，綜合可得③正確，對于④，有函數(shù)的解析式求導(dǎo)．分析可得函數(shù)f（x）的最值，進(jìn)而分析可得|f（x₁）-f（x₂）|＜e^-2-（e^-2）=2e^-2＜2，即可得④正確，綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）定義在R上的奇函數(shù)，則有f（0）=0，
設(shè)x＞0，則-x＜0，f（-x）=e^-x[（-x）+1]=e^-x（1-x），
又由函數(shù)為奇函數(shù)，則有f（x）=-f（-x）=e^-x（x-1），（x＞0）
則函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}（x+1），x＜0}\\{0}\\{{e}^{-x}（x-1），x＞0}\end{array}\right.$，
據(jù)此分析4個(gè)命題：
對于①、當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e^-x（x-1），故①錯(cuò)誤；
對于②、函數(shù)f（x）有3個(gè)零點(diǎn)，即x=-1、0、1，故②錯(cuò)誤；
對于③、當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=e^x（x+1）＞0，解可得x＞-1，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e^-x（x-1）＞0，解可得x＞1，
即f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞），故③正確；
對于④、當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=e^x（x+1），其導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x（x+1）+e^x=e^x（x+2），
分析可得x∈（-∞，-2），f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
即當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）為最小值f（-2）=-e^-2，
又由函數(shù)為奇函數(shù)，則當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）為最大值f（2）=e^-2，
?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜e^-2-（e^-2）=2e^-2＜2，故④正確；
綜合可得③、④正確，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的性質(zhì)應(yīng)用，關(guān)鍵是求出函數(shù)的解析式．