Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長(zhǎng)為1的正方體．
（1）求異面直線BC₁與B₁D₁所成的角．
（2）求直線BC₁與平面ABCD所成的角．
（3）求二面角C₁-BD-A的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出∠DBC₁是異面直線BC₁與B₁D₁所成的角，由此能求出異面直線BC₁與B₁D₁所成的角．
（2）由題意知∠C₁BC是直線BC₁與平面ABCD所成的角，由此能求出直線BC₁與平面ABCD所成的角．
（3）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C₁-BD-A的正切值．

解答： 解：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長(zhǎng)為1的正方體．
B₁D₁∥BD，
∴∠DBC₁是異面直線BC₁與B₁D₁所成的角，
∵BD=BC₁=DC₁，
∴△BDC₁是等邊三角形，
∴∠DBC₁=60°，
∴異面直線BC₁與B₁D₁所成的角為60°．
（2）∵CC₁⊥平面ABCD，
∴∠C₁BC是直線BC₁與平面ABCD所成的角，
在Rt△BCC₁中，
∵BC=CC₁，∠BCC₁=90°，
∴∠C₁BC=45°，
∴直線BC₁與平面ABCD所成的角為45°．
（3）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），
∴

DB

=（1，1，0），

DC1

=（0，1，1），
設(shè)平面DBC₁的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

•

DB

=0，

n

•

DC

=0，
∴

x+y=0 y+z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，1），
又平面BDA的法向量

m

=（0，0，1），
設(shè)二面角C₁-BD-A的平面角為θ，
則cosθ=cos＜

n

，

m

＞=

1

3

=

3

3

，∴sinθ=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

2

．
∴二面角C₁-BD-A的正切值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成的角的求法，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．