Question

20．在函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx的所有切線中，斜率最小的切線方程為4x-2y-3=0．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用基本不等式求其最小值，進(jìn)一步求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由直線方程點(diǎn)斜式得答案．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx，得f′（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0），
∵x+$\frac{1}{x}$$≥2\sqrt{x•\frac{1}{x}}=2$（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{x}$，即x=1時等號成立）．
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，$\frac{1}{2}$），斜率為2．
則斜率最小的切線方程為$y-\frac{1}{2}=2（x-1）$，
即4x-2y-3=0．
故答案為：4x-2y-3=0．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．