Question

已知函數(shù)f（x）=kx（k≠0），且滿足f（x+1）•f（x）=x²+x，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為定義域上的增函數(shù)，h（x）=

f(x)+1

f(x)-1

（f（x）≠1），則是否存在實(shí)數(shù)m使得h（x）的定義域和值域都為[m，m+1]？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）已知g（x）=（2a-1）x²+3x-3-a，若F（x）=f（x+1）f（x）+g（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法法，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為定義域上的增函數(shù)，確定f（x）=x，然后利用分式函數(shù)的單調(diào)性建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．
（Ⅲ）求出F（x）的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=kx（k≠0），且滿足f（x+1）•f（x）=x²+x，
∴f（x+1）•f（x）=k（x+1）•kx=x²+x，
即k²（x²+x）=x²+x，
∴k²=1，解得k=1或-1，
即函數(shù)f（x）的解析式f（x）=±x；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為定義域上的增函數(shù)，則f（x）=x，
即h（x）=

f(x)+1

f(x)-1

=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

（f（x）≠1），在（1，+∞）和（-∞，1）上分別單調(diào)遞減，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使得h（x）的定義域和值域都為[m，m+1]，
若m＞1，則

f(m)=m+1 f(m+1)=m

，即

m+1 m-1 =m+1 m+2 m =m

．
∴

m-1=1 m+2=m2

，即

m=2 m=2或m=-1

此時(shí)m=2滿足條件．
由若m＜1，則

f(m)=m+1 f(m+1)=m

，即

m+1 m-1 =m+1 m+2 m =m

．
∴

m-1=1 m+2=m2

，即

m=2 m=2或m=-1

此時(shí)m=2不滿足條件．
綜上存在m=2，滿足條件；
（Ⅲ）∵f（x+1）•f（x）=x²+x，g（x）=（2a-1）x²+3x-3-a，
∴F（x）=f（x+1）f（x）+g（x）=x²+x+（2a-1）x²+3x-3-a=2ax²+4x-3-a，
若a=0，F(xiàn)（x）=4x-3=0，解得x=

3

4

∈[-1，1]，此時(shí)滿足條件．
若a≠0，若F（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，
若判別式△=16+8a（3+a）=0．即a²+3a+2=0，解得a=-1或-2，此時(shí)對稱軸x=-

4

2×2a

=-

1

a

=1或

1

2

∈[-1，1]，滿足條件．
若判別式△＞0，即a＞-1或a＜-2時(shí)，
若F（x）在[-1，1]上存在一個(gè)零點(diǎn)，則F（1）F（-1）≤0，即（a+1）（a-7）≤0，即-1≤a≤7，
此時(shí)-1＜x≤7，
若F（x）在[-1，1]上存在2個(gè)零點(diǎn)，
若a＜0，則

F(1)≤0 F(-1)≤0

，即

a+1≤0 a-7≤0

，即

a≤-1 a≤7

，此時(shí)a≤-1，此時(shí)a＜-2，
若a＞0，則

F(1)≥0 F(-1)≥0

，即

a+1≥0 a-7≥0

，解得a≥7，
綜上a≤-2或a≥-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，利用分式函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．