Question

已知向量

a

=(1，

3

)，

b

=(cosx，sinx)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的最值及相應(yīng)的x值；
（2）若方程f（x）-m=0在x∈[0，2π]上有兩個不同的零點x₁、x₂，試求x₁+x₂的值以及相應(yīng)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過向量的數(shù)量積，兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)的表達式，然后求函數(shù)f（x）的最值及相應(yīng)的x值；
（2）通過x∈[0，2π]求出相位的范圍，通過函數(shù)的圖象求解方程有兩個不同的零點x₁、x₂，推出x₁+x₂的值以及相應(yīng)m的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=cosx+

3

sinx=2sin(x+

π

6

)．…（2分）
最大值為2，相應(yīng)的x=2kπ+

π

3

，k∈Z；…（4分）
最小值為-2，相應(yīng)的x=2kπ-

2π

3

，k∈Z．…（6分）
（2）f(x)=2sin(x+

π

6

)，x∈[0，2π]，所以x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]．
在同一坐標(biāo)系中作出y=2sin(x+

π

6

)，x∈[0，2π]和y=m的圖象，
由數(shù)形結(jié)合法可知：m∈（-2，1）∪（1，2）．…（8分）
當(dāng)m∈（-2，1）時，x1+x2=

8π

3

；…（10分）
當(dāng)m∈（1，2）時，x1+x2=

2π

3

．…（12分）

點評：本題考查向量的數(shù)量積，兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)值域的求法，考查計算能力．