Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a2=2，其前n項(xiàng)和Sn滿足： （n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若 ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意有 ．

所以 ，則有 （n≥2），

所以2（Sn﹣Sn﹣1）=nan﹣（n﹣1）an﹣1，

即（n﹣2）an=（n﹣1）an﹣1（n≥2）．

所以（n﹣1）an+1=nan，

兩式相加得2（n﹣1）an=（n﹣1）（an+1+an﹣1），即2an=an+1+an﹣1（n≥2），

即an+1﹣an=an﹣an﹣1（n≥2，n∈N），

故數(shù)列{an}是等差數(shù)列．

又a1=0，a2=2，所以公差d=2，

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，

則 …+n22n﹣2，

兩邊同乘以22得 +…+（n﹣1）22n﹣2+n22n，

兩式相減得 +22n﹣2﹣n22n，

即 = ，

所以

【解析】（I）利用數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出．（II）利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的求和公式即可得出．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．