【題目】已知α∈[0,π),在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù));在以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線l2的極坐標方程是ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ ).
(Ⅰ)求證:l1⊥l2
(Ⅱ)設點A的極坐標為(2, ),P為直線l1 , l2的交點,求|OP||AP|的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)證明:直線l1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù));
消去參數(shù)t可得:直線l1的普通方程為:xsinα﹣ycosα=0.
又直線l2的極坐標方程是ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ ).展開為ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin(α+ ).
即直線l2的直角坐標方程為:xcosα+ysinα﹣2sin(α+ )=0.
因為sinαcosα+(﹣cosα)sinα=0,
根據兩直線垂直的條件可知,l1⊥l2.
(Ⅱ)當ρ=2, 時,ρcos(θ﹣α)=2cos =2sin(α+ ).
所以點A(2, ),在直線ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ )上.
設點P到直線OA的距離為d,由l1⊥l2可知,d的最大值為 =1.
于是|OP||AP|=d|OA|=2d≤2
所以|OP||AP|的最大值為2
【解析】(Ⅰ)直線l1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù));消去參數(shù)t可得:直線l1的普通方程.又直線l2的極坐標方程是ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ ).展開為ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin(α+ ).利用互化公式可得直線l2的直角坐標方程,根據兩直線垂直的條件即可證明:l1⊥l2.(Ⅱ)當ρ=2, 時,滿足方程ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ ).可得點A(2, ),在直線ρcos(θ﹣α)=2sin(α+ )上.設點P到直線OA的距離為d,由l1⊥l2可知,d的最大值為 =1.即可得出|OP||AP|=d|OA|=2d最大值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓方程為 +y2=1,圓C:(x﹣1)2+y2=r2 .
(Ⅰ)求橢圓上動點P與圓心C距離的最小值;
(Ⅱ)如圖,直線l與橢圓相交于A、B兩點,且與圓C相切于點M,若滿足M為線段AB中點的直線l有4條,求半徑r的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點E(﹣2,0),點P時圓F:(x﹣2)2+y2=36上任意一點,線段EP的垂直平分線交FP于點M,點M的軌跡記為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)過F的直線交曲線C于不同的A、B兩點,交y軸于點N,已知 =m , =n ,求m+n的值.
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【題目】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著,系統(tǒng)地總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就.書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”,若某“陽馬”的三視圖如圖所示(單位:cm),則該陽馬的外接球的體積為( )
A.100πcm3
B.
C.400πcm3
D.
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【題目】已知數(shù)列{an}中,a2=2,其前n項和Sn滿足: (n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若 ,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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【題目】在平面直角坐標系中,直線l的參數(shù)方程為 (其中t為參數(shù)),現(xiàn)以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ.
(Ⅰ)寫出直線l和曲線C的普通方程;
(Ⅱ)已知點P為曲線C上的動點,求P到直線l的距離的最小值.
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【題目】用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+n2= ,則當n=k+1時左端應在n=k的基礎上加上( )
A.k2+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2
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【題目】網購是當前民眾購物的新方式,某公司為改進營銷方式,隨機調查了100名市民,統(tǒng)計其周平均網購的次數(shù),并整理得到如下的頻數(shù)分布直方圖.這100名市民中,年齡不超過40歲的有65人將所抽樣本中周平均網購次數(shù)不小于4次的市民稱為網購迷,且已知其中有5名市民的年齡超過40歲.
(1)根據已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為網購迷與年齡不超過40歲有關?
網購迷 | 非網購迷 | 合計 | |
年齡不超過40歲 | |||
年齡超過40歲 | |||
合計 |
(2)若從網購迷中任意選取2名,求其中年齡丑啊過40歲的市民人數(shù)ξ的分布列與期望. 附: ;
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.01 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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