Question

研究某灌溉渠道水的流速Y與水深x之間的關系，測得一組數(shù)據(jù)如下：

水深x/m	1.40	1.50	1.60	1.70	1.80	1.90	2.00	2.10
流速Y/(m·s-1)	1.70	1.79	1.88	1.95	2.03	2.10	2.16	2.21

（1）求Y對x的回歸直線方程；

（2）預測水深為1.95 m時水的流速是多少？

Answer 1

思路分析：從散點圖可以直觀地看出變量x與Y之間有無線性相關關系，為此把這8對數(shù)據(jù)描繪在平面直角坐標系中，得到平面上8個點，如圖所示.

由圖容易看出，x與Y之間有近似的線性相關關系，或者說，可以用一個回歸直線方程=a+bx來反映這種關系，這些是我們在必修模塊數(shù)學3中學過的知識.

進一步觀察這8個點，容易發(fā)現(xiàn)它們并不是“嚴格地”在一條直線上，對于某個x_i，由上式能確定一個=a+bx_i，一般地說，由于測量流速可能存在誤差，或者受某些隨機因素的影響，或者上面的回歸直線方程本身就不夠精確，與測得的數(shù)據(jù)y_i很可能不相等，即y_i=_i+e_i(i=1,2,…,8),其中e_i是隨機誤差項.于是，就有y_i=a+bx_i+e_i(i=1,2,…,8),這就是本題的線性模型.

從上述線性模型出發(fā)，我們可以求出a與回歸系數(shù)b的估計值,，使得全部誤差e₁,e₂,…,e₈的平方和達到最小，當然，這是一種很好的估計.最后得到的求,的數(shù)學公式為

=

.

解析：（1）可采用列表的方法計算a與回歸系數(shù)b.

序號	x	y	x2	xy
1	1.40	1.70	1.96	2.380
2	1.50	1.79	2.25	2.685
3	1.60	1.88	2.56	3.008
4	1.70	1.95	2.89	3.315
5	1.80	2.03	3.24	3.654
6	1.90	2.10	3.61	3.990
7	2.00	2.16	4.00	4.320
8	2.10	2.21	4.41	4.641
∑	14.001	5.822	4.922	7.993

于是，=×14.00=1.75, =×15.82=1.977 5,

=≈0.733.

=1.977 5-×1.75≈0.694.

Y對x的回歸直線方程為

=+x=0.694+0.733x.

回歸系數(shù)=0.733的意思是，在此灌溉渠道中，水深每增加0.1 m，水的流速平均增加0.733 m/s(本例數(shù)據(jù)是以0.1 m為水深間隔測得的），=0.694可以解釋為水的流速中不受水深影響的部分.

（2）由（1）中求出的回歸直線方程，把x=1.95代入，易得

=0.694+0.733×1.95≈2.12(m/s).

計算結果表明，當水深為1.95 m時可以預測渠水的流速約為2.12 m/s.