Question

（2011•河池模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1=1，且（n+1）an+12=nan2﹣an+1an，n∈N*

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)積為Tn，求證：當(dāng)x＞0時(shí)，對任意的正整數(shù)n都有Tn＞．

 

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）見解析

【解析】

試題分析：（I）先對（n+1）an+12﹣nan2+an+1an=0進(jìn)行化簡得到 ，再由累乘法可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式是an．

（II）根據(jù)（I）求出Tn，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可，證明過程中注意數(shù)學(xué)歸納法的步驟和導(dǎo)數(shù)的靈活應(yīng)用．

【解析】
（I）∵（n+1）an+12﹣nan2+an+1an=0

∴（另解﹣an不合題意舍去），

∴，

即 ，

（II）由（I）得：Tn=n!，

當(dāng)x＞0時(shí)，Tn＞等價(jià)于xn＜n!ex ①

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時(shí)，要證x＜ex，令g（x）=ex﹣x，

則g′（x）=ex﹣1＞0，

∴g（x）＞g（0）=1＞0，即x＜ex 成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，①式成立，即xk＜k!ex，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

要證xk+1＜（k+1）!ex也成立，

令h（x）=（k+1）!ex﹣xk+1，則h′（x）=（k+1）!ex﹣（（k+1）xk

=（k+1）（k!ex﹣xk），

由歸納假設(shè)得：h′（x）＞0，

∴h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，

即xk+1＜（k+1）!ex也成立，

由①②即數(shù)學(xué)歸納法原理得原命題成立．