Question

【題目】某心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時(shí)間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線．當(dāng)t∈(0,14]時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)t∈[14,40]時(shí)，曲線是函數(shù)（且）圖象的一部分．根據(jù)專家研究，當(dāng)注意力指數(shù)p大于等于80時(shí)聽課效果最佳．

(1)試求的函數(shù)關(guān)系式；

(2)一道數(shù)學(xué)難題，講解需要22分鐘，問老師能否經(jīng)過合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時(shí)講完？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，見解析.

【解析】

(1)根據(jù)所給的函數(shù)圖像先求出當(dāng)t∈(0,14]時(shí)的二次函數(shù)解析式，再由點(diǎn)，代入函數(shù)求出t∈[14,40]時(shí)的解析式，用分段函數(shù)表達(dá)即可.

(2)對(duì)分段函數(shù)，分別解不等式，求出的取值范圍，然后取并集，再計(jì)算時(shí)間的長度，然后對(duì)老師能否經(jīng)過合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時(shí)講完做出判斷.

解：（1）當(dāng)t∈(0,14]時(shí)，設(shè)p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，

將點(diǎn)(14,81)代入得c＝－，

∴當(dāng)t∈(0,14]時(shí)，p＝f(t)＝－ (t－12)2＋82；

當(dāng)t∈(14,40]時(shí)，將點(diǎn)(14,81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝.

所以p＝f(t)＝

(2)當(dāng)t∈(0,14]時(shí)，－ (t－12)2＋82≥80，

解得:，

所以；

當(dāng)t∈(14,40]時(shí)，log (t－5)＋83≥80，

解得5<t≤32，所以t∈(14,32]，

綜上時(shí)學(xué)生聽課效果最佳.

此時(shí)

所以，教師能夠合理安排時(shí)間講完題目.