Question

6．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個底邊長為8，高為4的等腰三角形，側視圖（或稱左視圖）是一個底邊長為6，高為4的等腰三角形．
（Ⅰ）求該幾何體的體積V；  
（Ⅱ）求該幾何體的面積S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三視圖知該幾何體是一個底面為矩形，高為4，頂點在底面的射影是底面中心的四棱錐，由此能求出該幾何體的體積．
（Ⅱ）該四棱錐有兩個側面是全等的等腰三角形，另外兩個側面也是全等的等腰三角形，由此能求出該幾何體的面積．

解答 解：（Ⅰ）由三視圖知該幾何體是一個底面為矩形，高為4，頂點在底面的射影是底面中心的四棱錐，
∴該幾何體的體積V=$\frac{1}{3}×（8×6）×4$=64．
（Ⅱ）該四棱錐有兩個側面是全等的等腰三角形，且其高為h₁=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{8}{2}）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
另外兩個側面也是全等的等腰三角形，這兩個側面的高為${{h}_{2}}^{\;}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{6}{2}）^{2}}$=5，
∴該幾何體的面積S=2（$\frac{1}{2}×6×4\sqrt{2}+\frac{1}{2}×8×5$）+8×6=88+24$\sqrt{2}$．

點評 本題考查幾何體的體積和面積的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意三視圖的性質的合理運用．