Question

已知實(shí)數(shù)x、y、z滿(mǎn)足3^x=4^y=6^z＞1．
（1）求證

2

x

+

1

y

=

2

z

；
（2）試比較3x、4y、6z的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)3^x=4^y=6^z=k，k＞1，則x=log₃k，y=log₄k，z=log₆k，由此能證明

2

x

+

1

y

=

2

z

．
（2）由3x=3log₃k，4y=4log₄k，6z=6log₆k，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則能推導(dǎo)出

3x

4y

=＜1，

4y

6z

＜1，由此能比較3x、4y、6z的大�。�

解答： （1）證明：∵實(shí)數(shù)x、y、z滿(mǎn)足3^x=4^y=6^z＞1，
設(shè)3^x=4^y=6^z=k，k＞1，
則x=log₃k，y=log₄k，z=log₆k，
∴

2

x

+

1

y

=2log_k3+log_k4=log_k36=2log_k6=

2

z

，
∴

2

x

+

1

y

=

2

z

．
（2）∵x=log₃k，y=log₄k，z=log₆k，k＞1，
∴3x=3log₃k，4y=4log₄k，6z=6log₆k，
∵

3x

4y

=

3logk3

4logk4

=

3logk4

4logk3

=

logk64

logk81

＜1，
∴3x＜4y，
∵

4y

6z

=

4log4k

6log6k

=

4logk6

6logk4

=

logk1296

logk4096

＜1，
∴4y＜6z，
∴3x＜4y＜6z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)換底公式的合理運(yùn)用．