Question

已知實數x、y、z滿足3^x=4^y=6^z＞1．
（1）求證

2

x

+

1

y

=

2

z

；
（2）試比較3x、4y、6z的大�。�

Answer 1

考點：對數的運算性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）設3^x=4^y=6^z=k，k＞1，則x=log₃k，y=log₄k，z=log₆k，由此能證明

2

x

+

1

y

=

2

z

．
（2）由3x=3log₃k，4y=4log₄k，6z=6log₆k，利用對數運算法則能推導出

3x

4y

=＜1，

4y

6z

＜1，由此能比較3x、4y、6z的大�。�

解答： （1）證明：∵實數x、y、z滿足3^x=4^y=6^z＞1，
設3^x=4^y=6^z=k，k＞1，
則x=log₃k，y=log₄k，z=log₆k，
∴

2

x

+

1

y

=2log_k3+log_k4=log_k36=2log_k6=

2

z

，
∴

2

x

+

1

y

=

2

z

．
（2）∵x=log₃k，y=log₄k，z=log₆k，k＞1，
∴3x=3log₃k，4y=4log₄k，6z=6log₆k，
∵

3x

4y

=

3logk3

4logk4

=

3logk4

4logk3

=

logk64

logk81

＜1，
∴3x＜4y，
∵

4y

6z

=

4log4k

6log6k

=

4logk6

6logk4

=

logk1296

logk4096

＜1，
∴4y＜6z，
∴3x＜4y＜6z．

點評：本題考查對數的運算法則的應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意對數換底公式的合理運用．