Question

14．設數(shù)列{a_n}滿足條件a₁=1，a_n+1=a_n+3•2^n-1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若$\frac{b_n}{a_n}$=n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的遞推關系式，累加求和，求解通項公式即可．
（2）求出數(shù)列的通項公式，然后求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）∵a₁=1，${a_{n+1}}-{a_n}=3•{2^{n-1}}$，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+3×2⁰+3×2¹+…+3×2^n-2=$1+3（{2^0}+{2^1}+…+{2^{n-2}}）=1+3×\frac{{1×（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}=3×{2^{n-1}}-2$（n≥2），
∵當n=1時，3×2^1-1-2=1式子也成立，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式${a_n}=3×{2^{n-1}}-2$．
（2）解：∵${b_n}=n{a_n}=3n•{2^{n-1}}-2n$，即：${b_1}=3×1×{2^0}-2$，${b_2}=3×2×{2^1}-4$，${b_3}=3×3×{2^2}-6$，…
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=3（1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1）-（2+4+6+…+2n）．
設${T_n}=1×{2^0}+2×{2^1}+3×{2^2}+…+n•{2^{n-1}}$，①
則$2{T_n}=1×{2^2}+2×{2^2}+…+（n-1）•{2^{n-1}}+n•{2^n}$，②
①-②，得$-{T_n}=（{2^0}+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}）-n•{2^n}=（{2^n}-1）-n•{2^n}$，
∴${T_n}=（n-1）•{2^n}+1$，
∴${S_n}=3（n-1）•{2^n}+3-2（1+2+3+…+n）$=3（n-1）•2ⁿ-n（n+1）+3．

點評 本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，數(shù)列求和，考查計算能力．