在△ABC中，已知AB=2，BC=1，，分別在邊AB、BC、CA上取點D、E、F，使得△DEF為正三角形．設∠FEC=a，問sinα取何值時，△DEF的邊長最短，并求此最短邊長．

答案：略
解析：

如圖所示，∵AB=2，BC=1，，

∴，

∴∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，

∵∠FEC=α，

∴∠EFC=90°－α，

又∵△DEF等邊三角形，∠DFE=60°，

∴∠AFD=180°－60°－(90°－α)=30°＋α．

∵∠A=30°，

∴∠ADF=180°－30°－(30°＋α)=120°－α．

設CF=x，則．在△ADF中，有

∠A=30°，∠ADF=120°－α，，

則由正弦定理，得．

在Rt△ECF中，x=DF·sinα，

∴，

化簡得，，

當，即，

即時，最小邊長為．


提示：

　　此題在題目中已比較明確地指明了解題思路，即應尋求△DEF最小邊長的函數(shù)，并且自變量為α，再求以α為自變量的函數(shù)的最小值，這是求最值中的常用方法．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求tg（
A
2
）+
3
tg（
A
2
）tg（
C
2
）+tg（
C
2
）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知A=45°，a=2，b=
2
，則B等于（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知a=
3
，b=
2
，1+2cos（B+C）=0，求：
（1）角A，B； 
（2）求BC邊上的高．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知A=60°，
AB
•
AC
=1，則△ABC的面積為
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知a=1，b=2，cosC=
34
．
（1）求AB的長；
（2）求sinA的值．

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