Question

泉州某魚苗養(yǎng)殖戶，由于受養(yǎng)殖技術(shù)水平和環(huán)境等因素的制約，會出現(xiàn)一些魚苗的死亡，根據(jù)以往經(jīng)驗，魚苗的死亡數(shù)p（萬條）與月養(yǎng)殖數(shù)x（萬條）之間滿足關(guān)系：P=

x2 6 ，(1≤x≤4) x+ 3 x - 25 12 ，(x≥4)

，已知每成活1萬條魚苗可以盈利2萬元，但每死亡1萬條魚苗講虧損1萬元．
（Ⅰ）試將該養(yǎng)殖戶每月養(yǎng)殖魚苗所獲得的利潤T（萬元）表示為月養(yǎng)殖量x（萬條的函數(shù)）；
（Ⅱ）該養(yǎng)殖戶魚苗的月養(yǎng)殖量是多少時獲得的利潤最大，最大利潤是多少？（利潤=盈利-虧損）

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知中魚苗的死亡數(shù)p（萬條）與月養(yǎng)殖數(shù)x（萬條）之間滿足關(guān)系式，可求出成活的魚苗數(shù)，進而根據(jù)每成活1萬條魚苗可以盈利2萬元，但每死亡1萬條魚苗講虧損1萬元，得到利潤T（萬元）與月養(yǎng)殖量的函數(shù)解析式．
（2）由（1）中結(jié)論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以求出月養(yǎng)殖量x定為多少時獲得的利潤最大，及最大利潤值．

解答： 解：（1）當(dāng)1≤x＜4時，成活的魚苗數(shù)為x-

x2

6

，…（1分）
利潤T=2（x-

x2

6

）-

x2

6

=2x-

x2

2

               …（3分）
當(dāng)x≥4時，成活的魚苗數(shù)為x-（x+

3

x

-

25

12

）=-

3

x

+

25

12

，…（4分）
利潤T=2（-

3

x

+

25

12

）-（x+

3

x

-

25

12

）=-x-

9

x

+

25

4

，…（6分）
綜上，該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤T=

2x- x2 2 ，1≤x＜4 -x- 9 x + 25 4 ，x≥4

…（7分）
（2）當(dāng)1≤x＜4時，T=2x-

x2

2

，對稱軸x=2，此時利潤T的最大值T_max=T（2）=2．…（9分）
當(dāng)x≥4時，T′=

(3+x)(3-x)

x2

＜0，…（10分）
所以T=-x-

9

x

+

25

4

在[4，+∞）上是減函數(shù)，…（11分）
此時利潤T的最大值T_max=T（4）=0，…（12分）
綜上所述，當(dāng)x=2時，T取最大值2，…（13分）
即當(dāng)養(yǎng)殖戶魚苗的月養(yǎng)殖量定為2（萬件）時，可獲得最大利潤2萬元．…（14分）

點評：本題考查的知識點是根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．