Question

已知f（x）是奇函數(shù)，且x≥0時，f（x）=x²-4x+3．
求：（1）f（x）的解析式．　　
（2）已知t＞0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）對任意的x都成立
又x≥0時，f（x）=x²-4x+3．
∴x＜0時，-x＞0
∴f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-4（-x）+3]=-x²-4x-3…
∴f（x）=
（2）∵t＞0
∴當(dāng)x∈[t，t+1]時，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1開口向上且關(guān)于x=2對稱…
①當(dāng)t+1≤2時，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減
∴g（t）=f（t+1）=（t-1）²-1=t²-2t
②當(dāng)t＜2＜t+1時即1＜t＜2時，對稱軸在 區(qū)間內(nèi)
∴g（t）=f（2）=-1
③當(dāng)t≥2時，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增
∴g（t）=f（t）=t²-4t+3
綜上所述，
分析：（1）當(dāng)x＜0時，-x＞0，而f（x）=-f（-x）可求f（x）
（2）由題意可得函數(shù)f（x）[t，t+1]上f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1開口向上且關(guān)于x=2對稱
①當(dāng)t+1≤2時，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞減，g（t）=f（t+1）
②當(dāng)t＜2＜t+1時即1＜t＜2時，對稱軸在 區(qū)間內(nèi)，g（t）=f（2）
③當(dāng)t≥2時，函數(shù)f（x）在[t，t+1]上單調(diào)遞增，g（t）=f（t）
點評：本題主要考查了利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，要注意解題中的分類討論思想的應(yīng)用．