Question

【題目】已知函數(shù)（）

（1）若為的極大值點，求的取值范圍；.

（2）當時，判斷與軸交點個數(shù)，并給出證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）有唯一零點；證明見解析；

【解析】

（1）求出,對與的大小關系進行討論，得出函數(shù)的單調(diào)性，分析其函數(shù)的極值，得出答案.

（2）討論與軸交點個數(shù),由即討論的實數(shù)根的個數(shù)，設，分析出函數(shù)的單調(diào)性，分析出函數(shù)值的情況，得出答案.

（1）

設，，所以在上單調(diào)遞增.

當時，，當時，，當時，，

所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞增,所以此時無極值.

當時，，

則一定存在，使得

所以當時，，從而，單調(diào)遞減.

當時，，從而單調(diào)遞增.

所以此時滿足為的極大值點

當時，，

所以當時，，從而，所以在單調(diào)遞增

此時不可能為的極大值點.

綜上所述：當為的極大值點時，的取值范圍是.

（2）討論與軸交點個數(shù),即討論方程的根的個數(shù).

設，則

令，得，令，得

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,所以

所以討論方程的根的個數(shù)，即探討的實數(shù)根的個數(shù).

設，

則

設，則

令，得，令，得

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以

所以當時，，當時，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

又當時，，且，

當時，且時，

所以當時，方程有唯一實數(shù)根.

綜上：，與軸有唯一交點