Question

12．已知正項等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足${a_1}+{a_5}=\frac{1}{3}a_3^2，{S_7}=56$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列$\left\{{{3^{a_n}}}\right\}$的前n項和．

Answer 1

分析 （1）與數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且${a_1}+{a_5}=\frac{1}{3}a_3^2$，可得$2{a_3}=\frac{1}{3}a_3^2$，又a_n＞0，解得a₃=6．根據(jù)${S_7}=\frac{{7（{a_1}+{a_7}）}}{2}=7{a_4}$=56，可得a₄，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）因為數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且${a_1}+{a_5}=\frac{1}{3}a_3^2$，
所以$2{a_3}=\frac{1}{3}a_3^2$，又a_n＞0
所以a₃=6．
因為${S_7}=\frac{{7（{a_1}+{a_7}）}}{2}=7{a_4}$=56，
所以a₄=8．
所以公差d=a₄-a₃=2，
所以a_n=a₃+（n-3）d=6+（n-3）×2=2n．
（2）設數(shù)列$\left\{{{3^{a_n}}}\right\}$的前n項和為T_n．
∴${T_n}={3^2}+{3^4}+…+{3^{2n}}=\frac{{9（1-{9^n}）}}{1-9}=\frac{9}{8}（{9^n}-1）$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．