Question

2．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ²（1+3sin²θ）=4．
（Ⅰ）求曲線C的參數方程；
（Ⅱ）若曲線與x軸的正半軸及y軸的正半軸分別交于點A，B，在曲線C上任取一點P，且點P在第一象限，求四邊形OAPB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，求了曲線C的直角坐標方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．由此能求出曲線C的參數方程．
（Ⅱ）求出A（2，0），B（0，1），設$P（2cosφ\;，\;\;sinφ）\;，\;\;0＜φ＜\frac{π}{2}$．則${S_{△POB}}=\frac{1}{2}×1×2cosφ=cosφ\;，\;\;{S_{△POA}}=\frac{1}{2}×2×sinφ=sinφ$，從而四邊形OAPB面積${S_{OAPB}}=cosφ+sinφ=\sqrt{2}sin（φ+\frac{π}{4}）∈（1\;，\sqrt{2}]$，由此能求出四邊形OAPB的面積取最大值．

解答 （本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程
解：（Ⅰ）∵曲線C的極坐標方程為ρ²（1+3sin²θ）=4，
即ρ²（sin²θ+cos²θ+3sin²θ）=4，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得到曲線C的直角坐標方程為x²+4y²=4，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
∴曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數）．…（5分）
（Ⅱ）∵曲線與x軸的正半軸及y軸的正半軸分別交于點A，B，
∴由已知可得A（2，0），B（0，1），
設$P（2cosφ\;，\;\;sinφ）\;，\;\;0＜φ＜\frac{π}{2}$．
則${S_{△POB}}=\frac{1}{2}×1×2cosφ=cosφ\;，\;\;{S_{△POA}}=\frac{1}{2}×2×sinφ=sinφ$，
所以四邊形OAPB面積${S_{OAPB}}=cosφ+sinφ=\sqrt{2}sin（φ+\frac{π}{4}）∈（1\;，\sqrt{2}]$．
當$φ=\frac{π}{4}$時，四邊形OAPB的面積取最大值$\sqrt{2}$． …（10分）

點評 本題考查曲線的參數方程的求法，考查四這形面積的最大值的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．