Question

17．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．圓ρ=2cosθ與圓ρ=sinθ交于O，A兩點．
（Ⅰ）求直線OA的斜率；
（Ⅱ）過O點作OA的垂線分別交兩圓于點B，C，求|BC|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}ρ=2cosθ\\ ρ=sinθ\end{array}\right.$，得2cosθ=sinθ，化簡即可得出k_OA．
（Ⅱ）設A的極角為θ，tanθ=2，則$sinθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，把$B（{{ρ_1}，θ-\frac{π}{2}}）$，代入ρ=2cosθ得ρ₁．把$C（{{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}}）$，代入ρ=sinθ得ρ₂，利用|BC|=ρ₁+ρ₂，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}ρ=2cosθ\\ ρ=sinθ\end{array}\right.$，得2cosθ=sinθ，tanθ=2，∴k_OA=2．
（Ⅱ）設A的極角為θ，tanθ=2，則$sinθ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
則$B（{{ρ_1}，θ-\frac{π}{2}}）$，代入ρ=2cosθ得${ρ_1}=2cos（{θ-\frac{π}{2}}）=2sinθ=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．
$C（{{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}}）$，代入ρ=sinθ得${ρ_2}=sin（{θ+\frac{π}{2}}）=cosθ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴$|{BC}|={ρ_1}+{ρ_2}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}+\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\sqrt{5}$．

點評 本題考查了極坐標方程的應用、斜率計算、弦長計算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．